Nodo granny nodo quadrato


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Nodi

24 gennaio 2020 Il premio Nobel, Werner Heisenberg, e io abbiamo almeno una cosa in comune: eravamo entrambi boy scout. Sono stato nei Boy Scouts of America per due anni durante la scuola elementare, e ho anche trascorso due settimane in un campo estivo scout dove facevamo cose come nuotare, fare escursioni e rimboschire. Ho persino acceso un falò da una scintilla fatta colpendo la pietra focaia all'acciaio. Heisenberg era un membro del Bund Deutscher Neupfadfinder, i Nuovi Boy Scout, una parte del tradizionale Movimento Giovanile Tedesco. Un'attività scout che ricordo è l'annodatura, una parte importante della quale consiste nell'imparare la distinzione tra un nodo quadrato (anche chiamato nodo di barriera) e un nodo della nonna. Il nodo della nonna probabilmente ha preso il nome dall'essere un nodo comune per legare i sacchi nei granai, ma l'idea che fosse un nodo inferiore preferito dalle nonne ha rafforzato l'idea in un giovane scout che doveva essere evitato. I Boy Scout sono stati anche il luogo in cui ho scoperto che non hai bisogno di due pezzi di corda per fare un nodo - usi ogni estremità di un singolo pezzo come due corde diverse. Quella rivelazione può aver influenzato sottilmente parte del mio pensiero scientifico successivo.

Un nodo quadrato e un nodo della nonna. La differenza è sottile, ma il nodo della nonna scivola quando viene caricato, mentre il nodo quadrato no. Una frase mnemonica comune per fare un nodo quadrato è: "Destra su sinistra, sinistra su destra, fa un nodo sia ordinato che stretto". Ci sono molti altri tipi di nodi e questo video di YouTube ne mostra sette. (Creato utilizzando Inkscape dai file sorgente di Wikimedia Commons).

Le festività natalizie Non molto lontano da noi, quindi la maggior parte di noi ha recentemente sperimentato il chaoticknotting che si trova nel groviglio di fili di luce natalizie. Mentre non è sorprendente apprendere che i matematici hanno sviluppato l'idea del nodo in un oggetto matematico, è sorprendente apprendere che i fisici hanno studiato le corde aggrovigliate come oggetti fisici. [1-3] Nel 2007, i fisici dell'Università della California a San Diego hanno pubblicato i risultati dei loro esperimenti sulla formazione spontanea di nodi in un pezzo di corda. [1-2]. Il loro semplice esperimento consisteva nel far cadere una corda in una scatola, ruotare la scatola a circa un giro al secondo per dieci secondi e ripetere questa operazione per 3.415 prove in cui variavano la lunghezza della corda, la rigidità della corda, la dimensione della scatola e la velocità di rotazione. [1-2] Gli esperimenti hanno dimostrato che la più alta probabilità di annodamento era per una corda lunga e flessibile in una scatola grande, poiché una scatola piccola Limita i possibili movimenti delle stringhe. È intuitivo che una corda rigida non si pieghi così tanto, il che ridurrà la probabilità di annodamento; E, naturalmente, una corda lunga dà una maggiore probabilità di sovrapposizioni che portano all'annodamento. Le corde inferiori a circa 18 pollici non formavano nodi e la probabilità di annodamento aumentava bruscamente dopo i 18 pollici, livellandosi a cinque piedi. [1] Uno degli sperimentatori, Raymer, sviluppò un modello di annodatura in cui una corda formerà anelli concentrici quando viene lasciata cadere nella scatola e la rotazione consente alle estremità libere di intrecciare gli anelli. [1-2]

Il nodo come oggetto matematico.

Questi nodi sono etichettati utilizzando la notazione Alexander-Briggs, introdotta in un articolo del 1927 dai matematici James W. Alexander e Garland B. Briggs.

Il numero importante qui è il primo, che è il numero dell'incrocio. Il secondo è un numero arbitrario assegnato ai membri di quell'incrocio.

(Sulla base di un Immagine Wikimedia Commons di Jkasd. Clicca per ingrandire l'immagine.)

Mentre i nodi sono fin troppo comuni e spesso frustranti nelle nostre vite, c'è solo un grande mito che coinvolge un nodo. Questo è il presunto nodo gordiano, per il quale c'era una profezia secondo cui la persona che poteva scioglierlo sarebbe diventato il re dell'Asia Minore. Se questa profezia suona familiare, è probabile che sia stata la base della leggenda di Artù che estrae la spada, Excalibur, da una pietra per diventare re di Britannia. Alessandro di Macedonia (alias Alessandro Magno) sciolse il nodo nel 333 a.C., tagliandolo con la sua spada, o facendo scivolare il nodo dal palo a cui era legato, e procedette alla conquista dell'Asia Minore. Ulteriori ricerche sui nodi sono state recentemente intraprese da un team di matematici e ingegneri meccanici presso il Massachusetts Institute of Technology (MIT, Cambridge, Massachusetts). [4-5] Utilizzando i dati di esperimenti in cui le fibre cangianti di colore hanno rivelato il Sollecitazione localiNei nodi mentre vengono separati e simulazioni al computer di questi processi, hanno sviluppato una teoria della stabilità dei nodi basata sui parametri topologici della carica di torsione, dei numeri di incrocio e della manualità. La teoria prevede il motivo per cui alcuni nodi (come il nodo della nonna) scivoleranno facilmente e si scioglieranno, mentre altri (come il nodo quadrato) si terranno saldamente. [4-5] Riportano i loro risultati in un recente numero di Science. [4] I nodi matematici sono oggetti astratti scollegati dalle proprietà fisiche dei nodi reali, e non c'è stato alcun lavoro teorico su ciò che rende il nodo migliore. Come spiega Mathias Kolle, professore associato al MIT e membro del team di ricerca, "La conoscenza empirica affinata nel corso dei secoli ha cristallizzato quali sono i nodi migliori", così il team di ricerca del MIT ha deciso di sviluppare un modello matematico dei nodi che spiegasse perché un nodo è più forte di un altro. [5] Il gruppo di ricerca del MIT di Kolle produsse Fibre estensibili che cambiano colore in risposta alla pressione o alla deformazione nel 2018. [5] Kolle, che è un appassionato marinaio, non era estraneo ai nodi, quindi lui e il suo team hanno fotografato nodi tirati fatti con tali fibre per dedurre il loro stato meccanico. [5] Man mano che la fiducia aumentava per il loro approccio sperimentale, hanno fatto esperimenti e simulazioni al computer per nodi più complicati e sono stati in grado di classificare i nodi in base alla loro forza relativa e alle proprietà chiave che includevano il numero di incroci di fibre e la direzione in cui i segmenti di fibra si attorcigliano quando il nodo viene stretto. [5] Queste proprietà sono analoghe a quelle che descrivono i sistemi di spinspin ferromagnetici a lungo raggio. [4]

Nodo semplice in una fibra realizzata con un materiale che cambia colore in base allo stato di stress.

I dati di tali fibre negli esperimenti di legatura dei nodi hanno permesso ai ricercatori del MIT di sviluppare un modello matematico per la previsione della stabilità di un nodo.

(Immagine del MIT, concesso in licenza con licenza Creative Commons Attribuzione Non commerciale Non opere derivate. Clicca per ingrandire l'immagine. [5])

Dice Jörn Dunkel, membro del team di ricerca e professore associato di matematica al MIT,
"Queste sottili differenze tra i nodi determinano in modo critico se un nodo è forte o meno... Con questo modello, dovresti essere in grado di guardare due nodi quasi identici ed essere in grado di dire quale sia il migliore". [5]
Si è scoperto che un nodo è più forte se ha più incroci di fibre. [5] È anche più forte se contiene un numero maggiore di cosiddette fluttuazioni di torsione , che sono cambiamenti nel senso di rotazione da un segmento di fibra all'altro. [5] I nodi più forti hanno più circolazioni che sono regioni in cui due fibre parallele si avvolgono l'una contro l'altra in direzioni opposte. [5] Tali regole spiegano perché un nodo quadrato è più forte di un nodo della nonna, poiché il nodo quadrato ha un numero maggiore di fluttuazioni di torsione. [5] Come riassume Kolle,
"Se si prende una famiglia di nodi simili da cui la conoscenza empirica ne individua uno come il migliore , ora possiamo dire perché potrebbe meritare questa distinzione... Possiamo giocare i nodi l'uno contro l'altro per usi nella sutura, nella vela, nell'arrampicata e nella costruzione. È meraviglioso". [5]
Questa ricerca è stata sostenuta in parte dalla Alfred P. Sloan Foundation e dalla National Science Foundation. [5]

Riferimenti:

  1. Dorian M. Raymer e Douglas E. Smith, "Annodamento spontaneo di una corda agitata", Proc. Natl. Acad. Sci., vol. 104, n. 42 (16 ottobre 2007), pp. 16432-16437, https://doi.org/10.1073/pnas.0611320104.
  2. Jeanna Bryner, "La scienza dei nodi svelati", LiveScience, 3 ottobre 2007.
  3. Andrew Belmonte, "La rete aggrovigliata dei nodi autoleganti", Proc. Natl. Acad. Sci., vol. 104, n. 44 (30 ottobre 2007), pp. 17243-17244, https://doi.org/10.1073/pnas.0708150104.
  4. Vishal P. Patil, Joseph D. Sandt, Mathias Kolle e Jörn Dunkel, "Meccanica topologica di nodi e grovigli", Science, vol. 367, n. 6473 (3 gennaio 2020), pp. 71-75, DOI: 10.1126/science.aaz0135.
  5. Jennifer Chu, "Quanto è forte il tuo nodo?" Comunicato stampa del MIT, 2 gennaio 2020.

Fondazione Sloan; Fondazione Nazionale delle Scienze.